Algebra fur Einsteiger. Von der Gleichungsauflosung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach speedy dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Algebra fur Einsteiger. Von der Gleichungsauflosung zur Galois-Theorie

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl.

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Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen 17 merken wir, dass jede auf dem Einheitskreis, das heißt auf dem Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt, gelegene komplexe Zahl mittels der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus darstellbar ist. Konkret besitzt eine solche komplexe Zahl eine Darstellung der Form cos ϕ + i ⋅ sin ϕ , wobei ϕ der Winkel ist, der durch die positive Halbachse einerseits und die vom Ursprung zur komplexen Zahl hinführende Gerade andererseits eingeschlossen wird (siehe Bild 6).

Konkret sind zu gegebenen komplexen Koeffi26 Die wohl umfassendeste Zusammenstellung solcher Verfahren gibt Ludwig Matthies- sen, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, Leipzig 1896. , xn gesucht, welche das Gleichungssystem x1 + x 2 + L + x n = − a n −1 x1 x 2 + x1 x3 + L + x n −1 x n = a n − 2 L x1 x 2 L x n −1 x n = ( −1) n a 0 erfüllen. , xn symmetrischen Ausdrücke auf der linken Seite der Gleichungen elementarsymmetrische Polynome genannt. Aber nicht nur die Lösung konkret gegebener Gleichungen mit explizit bekannten Koeffizienten lässt sich auf Basis des Vieta’schen Wurzelsatzes neu interpretieren.

Sowie das Paar der zueinander konjugierten Zahlen –1,87214... ± i·3,81014... Im mathematischen Sinn ist das erzielte Ergebnis trotzdem irgendwie beeindruckend. Wer hätte schon a priori vermutet, dass dritte Wurzeln in der Lösungsformel für eine Gleichung vierten Grades auftauchen? Richtig betrachtet ist diese Tatsache aber doch nicht so überraschend, wie sie auf den ersten Blick erscheinen mag. So haben wir bereits bei kubischen Gleichungen eine vergleichbare Situation kennen gelernt: Ganz entsprechend so, wie die Cardanische Formel außer dritten Wurzeln auch Quadratwurzeln beinhaltet, so muss eine allgemeine Auflösungsformel für biquadratische Gleichungen angelegt sein.

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