Algebraische Strukturen by Andreas Gathmann

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Beweis. „⇒“: Es sei Zn ein Körper. Angenommen, n wäre keine Primzahl. Dann gäbe es eine Faktorisierung n = p · q für gewisse 1 ≤ p, q < n, und es wäre in Zn p · q = n = 0, obwohl p und q nicht gleich 0 sind. 9 (c). „⇐“: Es sei n eine Primzahl und a ∈ {1, . . , n − 1}; wir müssen zeigen, dass a eine Einheit in Zn ist. 11 von Lagrange als Teiler von n gleich 1 oder n sein. Da aber bereits die beiden verschiedenen Elemente 0 und a in dieser Untergruppe liegen, ist | a | = 1 ausgeschlossen, d. h. es ist | a | = n und damit a = Zn schon der gesamte Ring.

Damit gilt a ⊂ b. 5. Äquivalenzrelationen 37 „⊃“: Die umgekehrte Inklusion zeigt man analog durch Vertauschen der Rollen von a und b. „⇐“: Es sei nun a = b. Nach (A1) ist a ∈ a, also auch a ∈ b. 2 (c). (b) Wegen der Reflexivität liegt natürlich jedes a ∈ M in seiner eigenen Äquivalenzklasse a. 2 (c), so gilt nach (a) bereits a = b. Also liegt a in genau einer Äquivalenzklasse von ∼, nämlich in a. 6. Es seien U und V zwei Untergruppen einer endlichen Gruppe G. Man zeige: (a) Durch (u, v) ∼ (u , v ) :⇔ uv = u v wird eine Äquivalenzrelation auf U ×V definiert.

17 (c) das Vorzeichen −1 hat. Also folgt aus dem Homomorphiesatz, dass die Gruppen Sn /An und ({1, −1}, · ) isomorph sind (mit dem Isomorphismus σ → sign σ ). Insbesondere 6. 11 von Lagrange |Sn | = |Sn /An | = 2. 6 genau n! 2 . (b) Ist G eine beliebige Gruppe und f = id : G → G die Identität, so ist natürlich Ker f = {e} und Im f = G. Nach dem Homomorphiesatz ist also G/{e} ∼ = G (mit der Abbildung a → a). Dies ist auch anschaulich klar: wenn man aus G „nichts herausteilt“, also keine nicht-trivialen Identifizierungen von Elementen aus G vornimmt, so ist die resultierende Gruppe immer noch G.

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